已知A、B、C是抛物线y2=2px上的三点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D、E两点，求证：抛物线的顶点平分线段DE．

Question

已知A、B、C是抛物线y²=2px上的三点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D、E两点，求证：抛物线的顶点平分线段DE．

Answer 1

抛物线参数方程为y=t，x=′(t2)/(2p)，
设B（(t21)/(2p)，t₁），C（(t21)/(2p)，-t₁），A（(t22)/(2p)，t₂）
所以求得AC的直线方程为
y-t₂=((t2−t1)(x−(t22)/(2p)))/((t22)/(2p)−(t21)/(2p))
化简y-t₂=(2p(x−(t22)/(2p)))/(t1+t2)
同理求得直线AB方程为
y-t₂=(2p(x−(t22)/(2p)))/(t2−t1)，
∴可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点
D（-(t1•t2)/(2p)，0）、E（(t1t2)/(2p)，0）
所以，抛物线的顶点平分线段DE