已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F1AF2的面积为1，（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F

Question

已知离心率为 的双曲线C的中心在坐标原点，焦点F ₁ 、F ₂ 在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F ₁ AF ₂ 的面积为1，
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

已知离心率为 的双曲线C的中心在坐标原点，焦点F ₁ 、F ₂ 在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F ₁ AF ₂ 的面积为1，
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

（1）由题意，设双曲线的标准方程为 ，
由已知得： ，
∵ 的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴b=1，a=2，
∴双曲线C的标准方程为 。
（2）设 ，
联立  ，
显然 ，
否则直线l与双曲线C只有一个交点，
，
则 ，
又 ，
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2，0)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
化简整理得 ，
∴ ，且均满足 ，
当 时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当 时，直线l的方程为 ，直线过定点（ ，0）；
∴直线l定点，定点坐标为（ ，0）。