（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1)若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求

Question

（本小题满分14分）已知椭圆 的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作 ，其中圆心P的坐标为 ．(1) 若FC是 的直径，求椭圆的离心率；（2）若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）椭圆的离心率 ；(2)椭圆的方程为  。

(1)由椭圆的方程知a=1,再根据 ,转化为 ,再结合 ,从而可得c,进而得到e.
(II) 圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,所以通过解FC的垂直平分线和BC的垂直平分线方程组成的方程组得到圆心P的坐标，再根据P点在直线m+n=0上，从而可建立关于b,c的方程.根据a=1，解出b,c的值，求出椭圆方程.
（1）由椭圆的方程知 ，∴点 ， ，
设 的坐标为 ，………………1分
∵FC是 的直径，
∴
∵  ∴  --------------------2分
∴ ， ----------------------------------------3分
解得  --------------------------------------5分
∴ 椭圆的离心率 --------------------6分
(2)∵ 过点F,B,C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为 --------①
-----------7分
∵BC的中点为 ，

∴BC的垂直平分线方程为 -----②
---------9分
由①②得 ，
即                        -----11分
∵P 在直线 上，∴  
∵  ∴           -----------------13分
由 得
∴椭圆的方程为       ---------------------14分