已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点D（1，）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）求的值（

Question

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点D（1， ）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求 的值
（3）求|PQ|的最小值．

Answer 1

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点D（1， ）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求 的值
（3）求|PQ|的最小值．

（1）椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，
∴ = = ，
∴b ² = a ²   ①
再由椭圆经过点D（1， ），可得 ，即 ②．
由①②解得 a ² =4，b ² =3，
故椭圆C的方程 ．
（2）由题意可得 A（﹣2，0），B（2，0），
∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ， sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，
故可设p（4，y ₁ ），Q（4，y ₂ ）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K _AM =K _AP ，
∴ = ，∴y ₁ =3 ．
再由M、B、P 三点共线，可得 K _BM =K _BQ ，
∴ = ，∴y ₂ = ．
∴ =（6，3 ）， =（2， ）．
∴ =（6，3 ）（2， ）
=12+3 =12+9 =12﹣9=3，
即 =3．
（3）由（2）|y _p ||y _q |=9，
∴|PQ|=|y _p ﹣y _q |=|y _p |+|y _q |≥2 =6，
当且仅当|y _p |=|y _q |时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．