椭圆：x平方/4+y平方/3=1.过该椭圆右焦点的直线交椭圆于M.N两点,该椭圆的左右顶点分别为A1,A2.求证：直线MA1与NA2的斜率平方的比值为定值..韦达的都用不进去,怎么利用求证信息呢.我写的是斜

Question

椭圆：x平方/4+y平方/3=1.过该椭圆右焦点的直线交椭圆于M.N两点,该椭圆的左右顶点分别为A1,A2.求证：直线MA1与NA2的斜率平方的比值为定值..韦达的都用不进去,怎么利用求证信息呢.
我写的是斜率的平方啊

Answer 1

(1)易知,A1(-2,0),A2(2,0),F2(1,0).故可设直线MN：y=k(x-1).与椭圆方程联立得:(3+4k^2)x^2-8xk^2+4(k^2-3)=0.(2).可设点M(X1,k(x1-1)),N(x2,k(x2-1)).===>Kma1=k(x1-1)/(x1+2).Kna2=k(x2-1)/(x2-2).且由韦达定理得x1+x2=(8k^2)/(3+4k^2).x1x2=4(k^2-3)/(3+4k^2).(3).(Kma1)/(Kna2)=[(x1-1)(x2-2)]/[(x1+2)(x2-1)]=(x1x2-2x1-x2+2)/(x1x2-x1+2x2-2)=[x1x2-2(x1+x2)+2+x2]/[x1x2-(x1+x2)-2+3x2].将韦达定理结果代入计算,化简可得(Kma1/Kna2)=1/3.再由(a^2)/(b^2)=(a/b)^2可知,所求的定值为1/9.