已知椭圆的离心率为，且经过点．过它的两个焦点，分别作直线与，交椭圆于A、B两点，交椭圆于C、D两点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形的面积的取

Question

已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． 过它的两个焦点 ， 分别作直线 与 ， 交椭圆于A、B两点， 交椭圆于C、D两点，且 ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形 的面积 的取值范围．

Answer 1

已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． 过它的两个焦点 ， 分别作直线 与 ， 交椭圆于A、B两点， 交椭圆于C、D两点，且 ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形 的面积 的取值范围．

（1） ；（2）

试题分析：（1）由离心率为 可知 ，所以 ，再将点P的坐标代入椭圆方程得 ，故所求椭圆方程为  ；
（2） 与 垂直，可分为两种情况讨论：一是当 与 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0；二是若 与 的斜率都存在；
当 与 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为 ；
若 与 的斜率都存在，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ． 直线 的方程为 ，
设 ， ，联立 ，消去 整理得，
（1） ， ，
，
（2），注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用 代替（2）中的 ，
得 ，
，利用换元法，再利用对构函数可以求出最值，令

作业帮用户 2017-11-13

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