如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边C′D′于点E．（1）求证：BC=BC′；（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．

Question

如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边C′D′于点E．

（1）求证：BC=BC′；
（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．

Answer 1

（1）连结AC、AC′，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CC′，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AC=AC′，
∴BC=BC′；

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，
∵BC=BC′，
∴BC′=AD′，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AD=AD′，
∴BC′=AD′，
在△AD′E与△C′BE中，

∠D′=∠ABC′

∠AED′=∠BEC′

AD′=BC′

，
∴△AD′E≌△C′BE，
∴BE=D′E，
设AE=x，则D′E=2-x，
在Rt△AD′E中，∠D′=90°，
由勾股定理，得x²-（2-x）²=1，
解得x=(5)/(4)，
∴AE=(5)/(4)．