在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值；(2)...在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值；(2)若a=1,cosB+cosC=(2跟号3)/3,求边C的值.

Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值； (2)...
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值； (2)若a=1,cosB+cosC=(2跟号3)/3,求边C的值.

Answer 1

（1）根据正弦定理,得
3acosA=ccosB+bcosC
3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
即得 3cosA=1
所以 cosA=1/3
（2）
∵cosA= 1/3
∴sinA= 2√2/3
cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=- 1/3cosC+ 2√2/3sinC
又 cosB+cosC=2√3/3
∴2√3/3-cosC=- 1/3cosC+ 2√2/3sinC
化简,得
√3-cosC=√2sinC
cosC+ √2sinC= √3 与cos²C+sin²C=1联立解得
sinC=√6/3
又 a=1
正弦定理：
1/2√2/3=c/6/3
解出
c=√3/2