已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且OA⊥OB，为坐标原点．（Ⅰ）求1a2+1b2的值；（Ⅱ）若椭圆长轴长的取值范围是[5，6]，求椭圆离心率的取值范围．

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且OA⊥OB，为坐标原点．
（Ⅰ）求(1)/(a2)+(1)/(b2)的值；
（Ⅱ）若椭圆长轴长的取值范围是[√(5)，√(6)]，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）将x+y-1=0代入椭圆方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝(2a2)/(a2+b2)，x1x2＝(a2(1−b2))/(a2+b2)，
而y1y2＝(1−x1)(1−x2)＝(b2(1−a2))/(a2+b2)．（3分）
又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0∴(a2(1−b2))/(a2+b2)+(b2(1−a2))/(a2+b2)＝0∴a²+b²=2a²b²，∴(1)/(a2)+(1)/(b2)＝2①
经验证，此时方程（﹡）有解，∴(1)/(a2)+(1)/(b2)＝2（7分）
（Ⅱ）将b2＝a2−c2，e＝(c)/(a)代入①得
2-e²=2a²（1-e²），∴e2＝(2a2−2)/(2a2−1)=1−(1)/(2a2−1)（10分）
而2a∈[√(作业帮用户2017-11-15问题解析本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系及参数的求值问题，（Ⅰ）通过直线与椭圆的位置关系，利用代入法求解相应的代数式的值；（Ⅱ）利用长轴长的取值范围，结合关系式与不等式的求解来确定离心率的取值范围．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．考点点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题．近年高考中圆锥曲线问题的解答难度有逐渐变低的趋势．通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识，比如不等式、数列、函数、向量、导数等，考查各知识点之间的综合应用，也是考查学生综合能力的一大考点．在新课标的高考中，圆锥曲线的考查以基础知识为主，难度不会太大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)