已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1的离心率为3分之根号6,右焦点为（2倍根号2,0）斜率为1的直线l的直线与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P（－3,2）求三角形PAB的面积!要求方法简洁好

Question

已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1的离心率为3分之根号6,右焦点为（2倍根号2,0）斜率为1的直线l的直线与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P（－3,2）求三角形PAB的面积!要求方法简洁好的方法我保证加分的!

Answer 1

x²/a²+y²/b²=1（a>b>0) 的离心率为√6/3
∴c/a=√6/3
∵c=2√2
∴a=(2√2)(3/√6)=2√3
∵b²=a²-c²=12-8=4
∴b=2
于是椭圆方程为 x²/12+y²/4=1
设直线L的方程为 y=x+m
代入椭圆方程,得
x²+3(x+m)²=12 4x²+6mx+3m²-12=0
这个关于x的一元二次方程的两个根,是直线与椭圆的两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标x1,x2
∴x1+x2=-3m/2 x1x2=(3m²-12)/4
y1+y2=x1+x2+2m=-3m/2+2m=m/2
y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m²=3m²/4-3-3m²/2+m²=m²/4-3
以A,B为底边做等腰三角形,顶点为P（-3,2）
那么AB上的高所在直线经过P点,且垂直于AB,它的斜率为-1 ,其方程是
y-2=-(x+3) 即 x+y+1=0
AB 的中点坐标为 x'=(x1+x2)/2 =-3m/4 y'=(y1+y2)/2=m/4 在高线上
∴-3m/4+m/4+1=0 m=2
于是 直线L的方程是 x-y+2 =0
A,B的坐标分别是 （-3,-1)和（0,2）
∴AB=3√2 AB上的高h=|-3-2+2|/√2=3/√2
∴三角形APB的面积=1/2ABh=9/2