高数全增量△z=A△x+B△y+o(p)p=√(△x)^2+(△y)^21是说这是一个关于√(A△x)^2+(B△y)^2的方程吗?2p=√(△x)^2+(△y)^2这是怎么推出来的?为什么仅仅是一关于根号下△x,△y的2阶无穷小啊不应该是更

Question

高数 全增量
△z=A△x+B△y+o(p) p=√(△x)^2+(△y)^2
1 是说这是一个关于√(A△x)^2+(B△y)^2的方程吗?
2 p=√(△x)^2+(△y)^2这是怎么推出来的?为什么仅仅是一关于根号下△x,△y的2阶无穷小啊 不应该是更高阶的无穷小吗?

Answer 1

1.o(p)是一个变量,在这里是指比p=√(△x)^2+(△y)^2更高阶的无穷小量.即：lim[△x->0,△y->0]o(p)/p = 0
2.仿照一元微分的定义,多元函数的微分如果成立,其函数值的全增量△z应该能表示为所有自变量增量的线性组合(A△x1+B△x2+C△x3+...)再加上他们之间的差值p.这个差值只要足够小,就可以视为多元函数z=f(x1,x2,x3,...)的增量△z能够近似用dx1 dx2 dx3表示.即△z≈dz=Adx1+Bdx2+...
一般将这个差值与p=√((△x1)^2+(△x2)^2+(△x3)^2+...)进行比较,如果足够小就可以忽略.p可以理解为多元函数自变量增量dx1、dx2.在球型空间上的半径.