用反证法证明：若整系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,求证：a,b,c中至少有一个是偶数.

Question

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,求证：a,b,c中至少有一个是偶数.

Answer 1

设a,b,c都是奇数
ax^2+bx+c=0(a≠0)有有理数根
则：b^2-4ac是完全平方数
设：b^2-4ac=d^2
则：(b-d)(b+d)=4ac
因为b是奇数,所以d也必须是奇数
设b=2m+1,k=2n+1
(b-d)(b+d)=(2m-2n)(2m+2n+2)=4(m-n)(m+n+1)
因为m-n,m+n+1必有一个偶数
所以,(b-d)(b+d)是8的倍数
所以,ac中必有偶数
矛盾
题目得证