如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

Question

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．

（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（Ⅰ）设S为十字形的面积，则S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ（(π)/(4)＜θ＜(π)/(2)）．（4分）
（Ⅱ）S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-(1)/(2)cos2θ-(1)/(2)=(√(5))/(2)sin（2θ-φ）-(1)/(2)，
其中φ=arccos(2√(5))/(5)．（8分）
当sin（2θ-φ）=1，即2θ-φ=(π)/(2)时，S最大．（10分）
所以，当θ=(π)/(4)+(1)/(2)arccos(2√(5))/(5)时，S最大．S的最大值为(√(5)−1)/(2)．（12分）