（1997•陕西）如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，若⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．43-56πB．43-116πC．83-116πD．83-53π

Question

（1997•陕西）如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，若⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．4√(3)-(5)/(6)π
B．4√(3)-(11)/(6)π
C．8√(3)-(11)/(6)π
D．8√(3)-(5)/(3)π

Answer 1

连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，
∴四边形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D=√(O1O22−O2D2)=2√(3)，
∴tan∠O₂=(O1D)/(O2D)=√(3)，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1=(1)/(2)（O₁A+O₂B）•O₁D=(1)/(2)×（1+3）×2√(3)=4√(3)，S_扇形AO1C=(120)/(360)×π×1²=(1)/(3)π，S_扇形BO2C=(60)/(360)×π×3²=(3)/(2)π，
∴S_阴影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4√(3)-(11)/(6)π．
故选B．