19.设A,B为圆x*2+y*2=1上两点,O为坐标原点（A,O,B不共线）（1）求证：向量OA+向量OB与向量OA-向量OB垂直20.（09湖南卷）在△ABC,已知2向量AB*向量AC=√3|向量AB|*|向量AC|=3BC*2,求角A,B,C的大小12.已知/a

Question

19.设A,B为圆x*2+y*2=1上两点,O为坐标原点（A,O,B不共线）（1）求证：向量OA+向量OB与向量OA-向量OB垂直
20.（09湖南卷）在△ABC,已知2向量AB*向量AC=√3|向量AB|*|向量AC|=3BC*2,求角A,B ,C的大小
12.已知/a向量/=2,/b向量/≠0,且关于x的方程x2+/a向量/x+ a向量* b向量有实根,则a向量与 b向量夹角的范围-----------------

Answer 1

第一个问题：
∵A、B在圆x^2＋y^2＝1上,∴可设A、B的坐标分别是（cosa,sina）,（cosb,sinb）.
∴向量OA＝（cosa,sina）,向量OB＝（cosb,sinb）.
∴向量OA＋向量OB＝（cosa＋cosb,sina＋sinb）,
　向量OA－向量OB＝（cosa－cosb,sina－sinb）.
∴（向量OA＋向量OB）·（向量OA－向量OB）
＝（cosa＋cosb）（cosa－cosb）＋（sina＋sinb）（sina－sinb）
＝（cosa）^2－（cosb）^2＋（sina）^2－（sinb）^2＝1－1＝0
∴（向量OA＋向量OB）⊥（向量OA－向量OB）.
第二个问题：
由2向量AB·向量AC＝√3｜向量AB｜·｜向量AC｜,
得：向量AB·向量AC/（｜向量AB｜·｜向量AC｜）＝√3/2,
而cosA＝向量AB·向量AC/（｜向量AB｜·｜向量AC｜）,∴cosA＝√3/2,∴A＝30°.
由√3｜向量AB｜·｜向量AC｜＝3BC^2,结合正弦定理,有：
√3｜sinC｜｜sinB｜＝3（sinA）^2＝3×（sin30°）^2＝3/4,　∴｜2sinBsinC｜＝√3/2,
在△ABC中,显然有：sinB＞0,sinC＞0,∴2sinBsinC＝√3/2,
∴cos［B－（180°－A－B）］－cos（B＋C）＝√3/2,
∴cos（－180°－30°＋2B）＋cosA＝√3/2,　∴cos［180°－（2B－30°）］＋cos30°＝√3/2,
∴－cos（2B－30°）＋√3/2＝√3/2,∴cos（2B－30°）＝0,∴2B－30°＝90°,∴B＝60°.
由A＝30°,B＝60°,得：C＝90°.于是：C＞B＞A.
第三个问题：
题目中给定的方程应该是 x^2＋｜向量a｜x＋向量a·向量b＝0 吧!即便是这样,仍然是条件不足,无法解决.请你核查题目.
∵给定的方程有实数根,∴方程的判别式不小于0,即：｜向量a｜^2－4向量a·向量b≧0,
∴向量a·向量b≦｜向量a｜^2/4＝4/4＝1.
令向量a与向量b的夹角为θ,则：
cosθ＝（向量a·向量b）/（｜向量a｜｜向量b｜）≦1/（2｜向量b｜）
∵｜向量b｜的取值无法确定,∴cosθ的范围就无法确定.