（2012•许昌二模）如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2的延长线相交于点C，延长AP交⊙O2于点D，点E在AD延长线上，（1）求证：△ABP是直角三角形；（2

Question

（2012•许昌二模）如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD延长线上，
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若AB•AC＝AP•AE，AP＝4，PD＝(9)/(4)，求(EC)/(AC)的值．

Answer 1

（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线，∴∠1=(1)/(2)∠O₁，∠2=(1)/(2)∠PO₂B
∵O₁A∥O₂B，∴∠O₁+∠PO₂B=180°，∴∠1+∠2=90°，
∴∠APB=90°，∴△ABP是直角三角形．
（2）作内公切线PH，交AB于H，则AH=PH=HB，
∴∠APB=90°，∠DPB=90°，
∴DB为⊙O直径，∴DB⊥AB于B，∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高，
∴PB²=AP•DP=4×(9)/(4)=9，∴PB=3，∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5，
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C，∴∠PBC=∠APC，
又∵∠6=∠6，∴△PBC∽△APC，∴(PC)/(AC)=(PB)/(AP)=(3)/(4)，
又∵BP⊥AE于P，∴∠3+∠4=90°，
∵AB为公切线，∴O₂B⊥AB于B，∴∠2+∠5=90°，
又∵O₂P=O₂B，∴∠4=∠5，∴∠2=∠3．
由（1）知△APB∽△ACE，∴∠E=∠2，∴∠3=∠E，∴PC=EC．
∴(EC)/(AC)=(3)/(4)．