已知x,y符合(x-1)²+(y-2)²=9,求(x-1)²+(y-1)²的最大值

Question

已知x,y符合(x-1)²+(y-2)²=9,求(x-1)²+(y-1)²的最大值

Answer 1

方法一：
∵（x－1）^2＋（y－2）^2＝9,∴9－（y－2）^2＝（x－1）^2≧0,∴（y－2）^2≦9,
∴－3≦y－2≦3,∴－1≦y≦5,∴2y≦10.
∴（x－1）^2＋（x－1）^2
＝（x－1）^2＋［（y－2）＋1］^2＝（x－1）^2＋（y－2）^2＋2（y－2）＋1
＝9＋2（y－2）＋1＝2y＋6≦10＋6＝16.
∴［（x－1）^2＋（x－1）^2］的最大值是16.
方法二：
∵（x－1）^2＋（y－2）^2＝9,∴可设x＝1＋3cosθ,y＝2＋3sinθ,于是：
（x－1）^2＋（x－1）^2
＝（3cosθ）^2＋（1＋3sinθ）^2＝9（cosθ）^2＋1＋6sinθ＋9（sinθ）^2
＝10＋6sinθ.
显然有：sinθ≦1,∴6sinθ≦6,∴10＋6sinθ≦16.
∴（x－1）^2＋（x－1）^2≦16.
∴［（x－1）^2＋（x－1）^2］的最大值是16.