几何探究题(初二）已知：在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAC=60°,∠BCD=120°（如图）（1）对角线AC与CD、CB有何大小关系?并证明你的结论.（2）若点P是四边形内任意一点,PA+PB+PD与CD+CB有何大小关系?并

Question

几何探究题(初二）
已知：在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAC = 60°,∠BCD=120°（如图） （1）对角线AC与CD、CB有何大小关系?并证明你的结论.（2）若点P是四边形内任意一点,PA+PB+PD与CD+CB有何大小关系?并证明

Answer 1

依题意A、B、C、D四点共圆.C为优弧BD上一动点；当AC平分∠BAD时AC取得最大值,为圆的直径、此时显然大于CD、CB,当AC无限接近AB或AD时取得最小值,无限接近AD的长、但略大于AD,而由于∠BAD为π/6,所以此时BC无限接近0、DC无限接近AD或DC无限接近0、BC无限接近AD；无论为何种情况总有AC>CD,AC>CB.由正弦定理可知：当CD=CB时CD+CB取得最大值3分之2倍根号3 BD；而PA+PB+PD最小值也就是当P为费马点时取得,即向外做三个正三角形△ABD',△BCD',△CAD' 并连接DD'、BB'、AA' 的交点,即△ABD的中心,所以PA+PB+PD的最小值为根号3 BD,显然PA+PB+PD的最小值要大于CD+CB的最大值,所以PA+PB+PD＞CD+CB.