如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．

Answer 1

考点：
圆周角定理 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质
专题：
计算题
分析：
（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠C，再利用三角形内角和计算出∠C=12（180°-∠BAC）=67.5°，接着根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后利用三角形外角性质求∠EBC的度数；（2）连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，然后根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD．

（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C=12（180°-∠BAC）=12（180°-45°）=67.5°，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵∠AEB=∠EBC+∠C，∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°；（2）证明：连结AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．