三角形ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=根号3,BC=根号7,则AO向量*BC向量=?

Question

三角形ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=根号3,BC=根号7,则AO向量*BC向量=?

Answer 1

设三角形外接圆半径为R.
AO*BC=AO(BO+OC)=AO*BO+AO*OC
由于|AO+OB|=|AB|=2,2R²+2AO*OB=4,
由于|AO+OC|=|AC|=3,2R²+2AO*OC=9.
我们试图求出R.
由正弦定理,a/sinA=R.
a=|BC|=根号7.
由余弦定理,cos²A=(c²+b²-a²)/2bc=(4+9-7)/(2x2x3)=1/2,
于是sin²A=1/2,sinA>0,sinA=1/根号2.
于是R=根号7/(1/根号2)=根号14.
求得AO*OB=(4-28)/2=-12,AO*OC=(9-28)/2=-19/2,
于是所求
AO*BC=AO*BO+AO*OC=-AO*OB+AO*OC=12-19/2=5/2.