在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点（即G是三角形ABC的重心）,a向量GA+b向量GB+C向量GC=0.求证：1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角形ABC是等边三角形.

Question

在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点（即G是三角形ABC的重心）,
a向量GA+b向量GB+C向量GC=0.求证：1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角形ABC是等边三角形.

Answer 1

1.
延长AO交BC于D,
AO=2/3AD,
向量AD=1/2(向量AC+向量AB)(这个老师应该教过),
所以：向量AO=1/3(向量AB+向量AC)
同理：向量BO=1/3(向量BC+向量BA)
向量CO=1/3(向量CA+向量CB)
把三个式子一加,就会得到结论
向量GA+向量GB+向量GC=0
2.
由 向量GA+向量GB+向量GC=0得
a(向量GA+向量GB+向量GC)=0
与 a向量GA+b向量GB+C向量GC=0 相减,得
(a-b)向量GB+(a-c)向量GC=0 (1)
由于向量GB与向量GC不在同一条直线上(否则不能构成三角形)
故若满足(1)式,只能有a-b=0且a-c=0
所以a=b=c,是等边三角形