已知有四边形ABCD,有一点P,设向量PA=向量a,向量PB=向量b,向量PC=向量c,向量PD=向量d,其中向量a+向量c=向量b+向量d,向量a*向量c=向量b*向量d,求四边形ABCD形状（要有过程）

Question

已知有四边形ABCD,有一点P,设向量PA=向量a,向量PB=向量b,向量PC=向量c,向量PD=向量d,其中向量a+向量c=向量b+向量d,向量a*向量c=向量b*向量d,求四边形ABCD形状（要有过程）

Answer 1

解:∵向量PA+向量PC=向量PB+向量PD.
∴ 向量PB-向量PA=向量PC-向量PD.
即,向量AB=向量DC.
∴AB∥＝DC.
又,向量PD-向量PA=向量PC-向量PB.
即, 向量AD=向量BC.
∴AD∥＝BC.
∴四边形ABCD为平行四边形.
由向量a+向量b=向量c+向量d, 两边平方得： (以下略去“向量”二字)
(a+b)^2=(c+d)^2,
a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2.
∵ a.b=c.d (题设)
∴ a^2+b^2=c^2+d^2.
a^2-c^2=d^2-b^2.
(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b).
∵a+c=b+d (题设) ∴|a+c|=|d+b|.|a-c|=|d-b|
向量a-向量c=向量CA. ---> |a-c|=|CA|
向量d-向量b=向量BD. ---> |d-b|=|BD|
∴|CA|=BD|
AC与BD是四边形的对角线.
∴四边形ABCD是矩形 （对角线相等的、且相邻两边不等的平行四边形是矩形).

∴