在△ABC中，若∠A=60°，a=1，求△ABC内切圆半径R的最大值．

Question

在△ABC中，若∠A=60°，a=1，求△ABC内切圆半径R的最大值．

Answer 1

当A在

AB

的中点时，A距离BC最远，△ABC内切圆半径R的最大，
设△ABC外接圆半径r，外接圆的圆心O，内切圆的圆心M，
连接AO交BC于点D，
∵A在

AB

的中点且O为三角形的外心，
∴AD⊥BC，BD=DC=(1)/(2)，AB=AC，
∵A=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴M在AD上，且AD=(√(3))/(2)，
设AB与 M切于E，连接EM，则EM=EMD=R，
∵∠A=60°，
∴∠BAD=30°，
Rt△AEM中，AM=2EM=2R，
∵AM+MD=AD∴2R+R=(√(3))/(2)，
∴R=(√(3))/(6)，即R的最大值为(√(3))/(6)．
故答案为：(√(3))/(6)