如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内侧光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分外侧B′C′D′粗糙，下半部分外侧B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的

Question

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内侧光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分外侧B′C′D′粗糙，下半部分外侧B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v₀向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s²．

（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，此时内轨道对小球的支持力F_N=1N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=2√(2)m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

Answer 1

（1）设小球到达最高点的最小速度为v_C，则有：
  mg=m(v2C)/(R)
小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，不受摩擦力，只有重力做功，机械能守恒，则从A到C的过程，由机械能守恒得
  (1)/(2)m

v

2 C

+2mgR=(1)/(2)m

v

2 0

解得：v₀=√(5gR)=√(5×10×0.2)=√(10)m/s  
（2）若v₀=3m/s，设此时小球到达最高点的速度为v_c′，克服摩擦力做的功为W，则在C′点，由牛顿第二定律得：
mg-N=m(v′2C)/(R)
从A到C′的过程，由动能定理得：
-2mgR-W=(1)/(2)m

v

′2 C

-(1)/(2)m

v

2 0

代入数据解得：W=0.05J 
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为N_A，则有：
mgR=(1)/(2)m

v

2 A

在A点，由牛顿第二定律得：
N_A-mg=m(v2A)/(R)
代入数据，解得：N_A=3mg=3N  
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有：
△E=(1)/(2)m

v

2 0

-mgR   
代入数据解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少√(10)m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为3N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.25J．