平面上给定3个点，证明：可以作出4个同心圆，使（Ⅰ）这4个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（Ⅱ）这4个圆所成的3个圆环中，每个含有一个已知点．

Question

平面上给定3个点，证明：可以作出4个同心圆，使（Ⅰ）这4个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（Ⅱ）这4个圆所成的3个圆环中，每个含有一个已知点．

Answer 1

证明：连接两个已知点的线段有3条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知3个点外，任取一点O为圆心．
设O到这3个已知的距离为d₁，d₂，d₃，则它们两两不等且都大于0．
不妨假设0123，则存在有理数r₁，r₂，r₃，使得d₁12233，
将它们通分得r₁=(P1)/(M)，r₂=(P2)/(M)，r₃=(P3)/(M)，这里M是它们分母的公倍数．
我们可以取M足够大，使(1)/(M)<d₁，
令r₀=(1)/(M)，则以r₀，r₁，r₂，r₃为半径的同心圆满足所有的要求．