如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM=12EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2=2（AB2+AC2）．

Question

如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：

（1）AM=(1)/(2)EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG²+BC²=2（AB²+AC²）．

Answer 1

（1）证明：延长AM到点N，使MN=MA，连接BN，
∵AM是△ABC中BC边上的中线，
∴CM=BM，
在△MBN和△MCA中

AM=MN

∠AMC=∠NMB

CM=BM

∴△MBN≌△MCA（SAS），
∴∠BNM=∠CAM，NB=AC，
∴BN∥AC，NB=AG，
∴∠NBA+∠BAC=180°，
∵∠GAE+∠BAC=360°-90°-90°=180°，
∴∠NBA=∠GAE，
在△NBA和△GAE中

NB=AG

∠NBA=∠GAE

BA=EA

∴△NBA≌△GAE（SAS），
∴AN=EG，
∴AM=(1)/(2)EG；
（2）证明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG，
∵∠HAE+∠BAN=180°-90°=90°，
∴∠HAE+∠AEH=90°，
∴∠AHE=90°，
即AH⊥EG；
（3）证明：作AT⊥BC于T，则BM=BT+TM，CM=CT-TM．
在Rt△ABT中，AB²=BT²+AT²，
在Rt△ACT中，AC²=CT²+AT²，
在Rt△ATM中，AT²=AM²-TM²，
∴AB²=BT²+AM²-TM²，
=AM²+BT²-TM²
=AM²+（BT+TM）（BT-TM）
=AM²+BM（BT-TM）①
AC²=CT²+AM²-TM²
=AM²+CT²-TM²
=AM²+（CT+TM）（CT-TM）
=AM²+CM（CT+TM）②
①+②得：AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM）+CM（CT+TM），
∵BM=CM，
∴AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM+CT+TM）
=2AM²+BM（BT+CT）
=2AM²+BM•BC
由（1）可知AM=(1)/(2)EG，
∵BM=(1)/(2)BC，
∴AB²+AC²=2（(1)/(2)EG）²+(1)/(2)BC•BC，
∴EG²+BC²=2（AB²+AC²）．