如图，圆C：x2+y2+2x-3=0内有一点P（-2，1），AB为过点P且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R

Question

如图，圆C：x²+y²+2x-3=0内有一点P（-2，1），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；
（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．

Answer 1

（1）由题意知，圆心C（1，0），半径R=2，直线AB的方程为x+y+1=0，
直线AB过圆心C，所以弦长AB=2R=4．…（4分）
（2）当弦AB被点P平分时，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，
所以k_AB=1，直线AB的方程为x-y+3=0．…（8分）
（3）设M（x₀，y₀），则满足x02+y02+2x0-3=0，①…（9分）
由题意得，(|MO|)/(|MR|)=λ，即(√(x02+y02))/(√((x0-a)2+y02))=λ．…（10分）
整理得x02+y02=λ2[x02-2ax0+a2+y02]，②
由①②得，3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立，
所以

3=λ2(3+a2)

-2=λ2(-2-2a)

，又a≠0，λ>0，λ≠1，
解之得a=3．…（12分）