（2014•安庆二模）如图，已知点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x+t）2+y2=2（t＞0）与椭圆C的一个公共点为B（0，1），且直线FB与圆A相切于点B．（Ⅰ）求t的值及椭圆C的标准方

Question

（2014•安庆二模）如图，已知点F为椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x+t）²+y²=2（t＞0）与椭圆C的一个公共点为B（0，1），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值及椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+3

ON

，其中M、N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM与ON的斜率之积为-(1)/(2)，求证：x₀²+2y₀²为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知b=1，
∵t²+1=2，∴t=±1．
∵t＞0，∴t=1．…..（2分）
在Rt△AFB中，|AB|²+|FB|²=|AF|²，
∴2+（1+c²）=（1+c）²，
∴c＝1，a＝√(2)
故椭圆的标准方程为：(x2)/(2)+y2＝1…..（6分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵

OP

＝

OM

+3

ON

，
∴x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂
∵M、N在椭圆上，∴

x

2 1

+2

y

2 1

＝2，

x

2 2

+2

y

2 2

＝2
又直线OM与ON的斜率之积为−(1)/(2)，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
于是x02+2y02＝(x12+6x1x2+9x22)+2(y12+6y1y2+9y22)=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+6(x1x2+2y1

作业帮用户 2017-10-17