已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．（Ⅰ）分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数；（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n），并用数

Question

已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．
（Ⅰ）分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数；
（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n），并用数学归纳法证明．

Answer 1

（Ⅰ）凸四边形的对角线的条数为2条，凸五边形的对角线的条数为5条，凸六边形的对角线的条数为9条；
（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n）=(n(n−3))/(2)（n∈N₊，n≥3）
用数学归纳法证明：（1）当n=3时，f（x）=(1)/(2)×3×0=0，凸三边形没有对角线，命题成立
（2）假设当n=k（k≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数f（k）=(1)/(2)k（k-3）（k≥3），
当n=k+1时，k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A _k+1，增加的对角线是顶点A _k+1，与不相邻顶点连线再加上原k变形的一边A₁A_k+1，
∴增加的对角线条数为（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=(1)/(2)×k（k-3）+k-1=(1)/(2)（k²-k-2）=(1)/(2)（k+1）（k-2）=(1)/(2)×（k+1）[（k+1）-3]
综上当n=k+1时，命题成立，
由（1）（2）可知，对任何n∈N₊，n≥3命题成立．