已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0，b∈R），方程f（x）=x有两个实数根x1、x2．（Ⅰ）如果x1＜2＜x2＜4，设函数f（x）的对称轴为x=x0，求证x0＞-1；（Ⅱ）如果0＜x1＜2，且f（x）=x的两实根相差

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R），方程f（x）=x有两个实数根x₁、x₂．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证x₀＞-1；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，且f（x）=x的两实根相差为2，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即

4a+2b−1＜0

16a+4b−3＞0

由可行域可得(b)/(a)＜2，∴x0＝−(b)/(2a)＞−1．
（Ⅱ）由题设令g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1=0，知x1x2＝(1)/(a)＞0，故x₁与x₂同号．
0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2（负根舍去），
∴x₂=x₁+2＞2．
∴

g(2)＜0

g(4)＞0

，即

4a+2b−1＜0     ①

16a+4b−3＞0    ②

①×4-②得4b-1＜0，∴b＜(1)/(4)
综上，b的取值范围为b＜(1)/(4)．