已知抛物线的焦点为F,F关于原点的对称点为P.过F做X轴的垂线交抛物线于M,N两点.有下列四个命题①,△PMN必为直角三角形②,△PMN一定不为直角三角形③,直线PM必与抛物线相切④,直线PM不一定

Question

已知抛物线的焦点为F,F关于原点的对称点为P.过F做X轴的垂线交抛物线于M,N两点.有下列四个命题
①,△PMN必为直角三角形 ②,△PMN一定不为直角三角形 ③,直线PM必与抛物线相切 ④,直线PM不一定与抛物线相切
其中正确的命题是哪两个?

Answer 1

设抛物线方程为 y²=2px 焦点为F(p/2,0),则P点坐标为(-p/2,0),可求出点M( P/2,P),N(p/2,-p),
所以∣PF∣=1/2 ∣MN∣=p,所以∠MPN=90度,所以①正确,
又直线PM方程与抛物线方程联立:y=x+ p/2
y²=2px 得x²-px+ p²/4=0 ,其判别式=0
所以直线PM必与抛物线相切.所以③正确.