如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明

Question

如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，
（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；

（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．

Answer 1

证明：（1）点D只能在AC的下边，容易得到BD是AC的中垂线，因此AD=DC，∠ABD=30°，
在三角形内由正弦定理可以得到(AD)/(sin∠ABD)=(BD)/(sin∠BAD)，
可以很快得到BD=2AD=AD+AC；

（2）延长DA到E，使得ED=BD，
又因为∠ADB=60°
因此△EBD是一个等边三角形，
所以BE=ED=BD，∠EBD=60°，
又因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°，
所以∠EBA=∠DBC，
在△EBA与△DBC中，
因为

BE＝BD

∠EBA＝∠DBC

AB＝BC

，
所以△ABE≌△CBD（SAS），
因此EA=DC，
所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；

（3）DC＜DA+DB．