已知点M（1,0）及双曲线三分之x方减y方=1的右支点上两动点A,B,当角AMB最大时,它的余炫值为

Question

已知点M（1,0）及双曲线三分之x方 减y方=1的右支点上两动点A,B,当角AMB最大时,它的余炫值为

Answer 1

双曲线x²/3-y²=1右顶点为(√3,0)
过M(1,0)向双曲线引切线,两条切
线所夹的角为符合题意的∠AMB最大角
切点分别为A,B
设切线的斜率为k,切线方程为
y=k(x-1)代入x²/3-y²=1
得x²/3-k²(x-1)²=1
即(1-3k²)x²+6k²X-3k²-3=0
Δ=36k⁴+12(k²+1)(1-3k²)=0
整理：1-2k²=0,k²=1/2
设∠AMB=2θ,则∠AMx=θ
tanθ=√2/2=|k|
∴tan2θ=2tanθ/(1-tan²θ)=√2/(1-1/2)=2√2
∴sin2θ=2√2/3,cos2θ=1/3
∴当∠AMB最大时,它的余弦值为1/3