命题p：∃x∈R，使3cos2x2+3sinx2cosx2＜a+32；命题q：∀x∈（0，+∞），x2-2ax+1≥0．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围是（）A．(1，3]B．[0，3)C．(−32，134]D．(−3，1]

Question

命题p：∃x∈R，使3cos2(x)/(2)+√(3)sin(x)/(2)cos(x)/(2)＜a+(3)/(2)；命题q：∀x∈（0，+∞），x²-2ax+1≥0．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围是（　　）

A．(1，√(3)]
B．[0，√(3))
C．(−(3)/(2)，(13)/(4)]
D．(−√(3)，1]

Answer 1

由3cos2(x)/(2)+√(3)sin(x)/(2)cos(x)/(2)＜a+(3)/(2)，得：3×(1+cosx)/(2)+(√(3))/(2)sinx＜a+(3)/(2)，
即sin(x+(π)/(3))＜(√(3))/(3)a，
所以，若∃x∈R，使3cos2(x)/(2)+√(3)sin(x)/(2)cos(x)/(2)＜a+(3)/(2)，则(√(3))/(3)a＞−1，所以a＞−√(3)；
若∀x∈（0，+∞），x²-2ax+1≥0，则

a＞0

(−2a)2−4≤0

或

a≤0

02−2a×0+1＞0

，解得：a≤1；
若命题p∧q为真，则p、q均为真，所以使p、q均为真的a的范围是(−√(3)，1]．
故选D．