如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为25S；求BD长．（2）若AC＝2AB；且DF经

Question

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．
（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为(2)/(5)S；求BD长．
（2）若AC＝√(2)AB；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．

Answer 1

如图，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
记S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=(2)/(5)S，
∴S₁+S₂=S-(2)/(5)S=(3)/(5)S．①
(√(S1))/(√(S))=(BD)/(BC)，(√(S2))/(√(S))=(CD)/(BC)，
于是(√(S1))/(√(S))+(√(S2))/(√(S))=(BD+CD)/(BC)=1，即√(S1)+√(S2)=√(S)，
两边平方得S=S₁+S₂+2√(S1S2)，
故2√(S1S2)=S_AEFD=(2)/(5)S，即S₁S₂=(1)/(25)S²．②
由①、②解得S₁=(3±√(5))/(10)S，即(S1)/(S)=(3±√(5))/(10)．
而(S1)/(S)=((BD)/(BC))2，即(3±√(5))/(10)=((BD)/(5))2，解得BD=(√(30±10√(5)))/(2)=(√((5±√(5))2))/(2)=(5±√(5))/(2)．

（2）由G是△ABC的重心，DF过点G，且DF∥AB，可得(CD)/(CB)=(2)/(3)，则DF=(2)/(3)AB．
由DE∥AC，(CD)/(CB)=(2)/(3)，得DE=(1)/(3)AC，
∵AC=√(2)AB，∴(AC)/(AB)=√(2)，(DF)/(ED)=(2AB)/(√(2AB))=√(2)，
得(DF)/(DE)=(AC)/(AB)，即(DF)/(AC)=(DE)/(AB)，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得(EF)/(BC)=(DE)/(AB)，所以EF=(5√(2))/(3)．