如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．（1）若点E

Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=(4)/(3)，
∴AP=(8)/(3)．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，

∠A＝∠B

∠QPA＝∠PCB

，
∴△QAP∽△PBC，
∴(QA)/(PB)＝(AP)/(BC)，
∴(QA)/((4)/(3))＝((8)/(3))/(2)，
∴QA＝(16)/(9)．

（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EP-PF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB-AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PF-EP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP-PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3．

（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，
在△AEP和△ABC中，

∠AEP＝∠B＝90°

∠EAP＝∠BAC

，
∴△AEP∽△ABC，
∴(AP)/(EP)＝(AC)/(BC)．
设AP=x，则EP=BP=4-x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2√(5)，
∴(x)/(4−x)＝(2√(5))/(2)．
解得 x＝5−√(5)．
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．