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已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi（i=1，2，3，4）是非零向量组且与向量组α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为（）A．1B．2C．3D．4
题目详情
已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi（i=1，2，3，4）是非零向量组且与向量组α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
A．1
B．2
C．3
D．4
▼优质解答
答案和解析
设αi＝(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i＝1，2，3)，
由正交关系知βiTαj＝0(i＝1，2，3，4，j＝1，2，3)．
即βi（i=1，2，3，4）为方程组
的非零解．
由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，
从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1．
故正确选项为A．
由正交关系知βiTαj＝0(i＝1，2，3，4，j＝1，2，3)．
即βi（i=1，2，3，4）为方程组
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由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，
从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1．
故正确选项为A．
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