已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi（i=1，2，3，4）是非零向量组且与向量组α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为（）A．1B．2C．3D．4

Question

已知四维列向量α₁，α₂，α₃线性无关，若向量β_i（i=1，2，3，4）是非零向量组且与向量组α₁，α₂，α₃均正交，则向量组β₁，β₂，β₃，β₄的秩为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

设αi＝(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i＝1，2，3)，
由正交关系知βiTαj＝0(i＝1，2，3，4，j＝1，2，3)．
即β_i（i=1，2，3，4）为方程组

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4＝0

a21x1+a22x2+a23x3+a24x4＝0

a31x1+a32x2+a33x3+a34x4＝0

的非零解．
由于α₁，α₂，α₃线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，
从而向量组β₁，β₂，β₃，β₄的秩为1．
故正确选项为A．