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已知向量a与向量b是非零向量,且（a+b)垂直(a-b),(a+2b),(2a-b),求3a+4b与2a+b的夹角
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已知向量a与向量b是非零向量,且（a+b)垂直(a-b),(a+2b),(2a-b),求3a+4b与2a+b的夹角
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答案和解析
∵(a+b)⊥(a-b),∴a²-b²=0,∴|a|=|b|
∵(a+2b)⊥(2a-b),∴2a²-2b²+3ab=0
∴2a²-2a²+3ab=0
∴ab=0
∴(3a+4b)(2a+b)=6a²+4b²+11ab=10a²
而|3a+4b|=√(9a²+16b²+24ab)=√(25a²)=5|a|,|2a+b|=√(4a²+b²+4ab)=√(5a²)=√5|a|,
∴cos=10a²/(5|a|×√5|a|)=2√5/5
∵(a+2b)⊥(2a-b),∴2a²-2b²+3ab=0
∴2a²-2a²+3ab=0
∴ab=0
∴(3a+4b)(2a+b)=6a²+4b²+11ab=10a²
而|3a+4b|=√(9a²+16b²+24ab)=√(25a²)=5|a|,|2a+b|=√(4a²+b²+4ab)=√(5a²)=√5|a|,
∴cos=10a²/(5|a|×√5|a|)=2√5/5
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