已知向量绝对值a=向量绝对值b=2,且a与b的夹角为60°,若向量a+b与向量a的夹角为x,向量a-b与向量a的夹角为yx+y=

Question

已知向量绝对值a=向量绝对值b=2,且a与b的夹角为60°,若向量a+b与向量a的夹角为x,向量a-b与向量a的夹角为y
x+y=

Answer 1

解析：
方法1.结合图形.
取任意一点O,以点O为起点分别作向量OA=向量a,向量OB=向量b（向量绝对值a=向量绝对值b=2,且a与b的夹角为60°）,以向量a和向量b所在线段为邻边作一个平行四边形OACB,易知此平行四边形为菱形
连结对角线OC.AB
由向量加法(减法)的平行四边形法则可知：
向量OC=向量OA+向量OB=向量a+向量b
则可知∠COA就是向量a+b与向量a的夹角x
同理由向量BA=向量OA-向量OB=向量a-向量b可知：
∠BAO就是向量a-b与向量a的夹角y
由于∠AOB=60°,所以易知：
x=∠COA=∠AOB/2=30°
y=∠BAO=∠CAO/2=60°
那么：x+y=90°
方法2.已知向量绝对值a=向量绝对值b=2,且a与b的夹角为60°,那么：
数量积向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*cos60°=2*2*1/2=2
所以：|向量a+向量b|²=|向量a|² +2向量a*向量b+ |向量b|²=4+4+4=12
|向量a-向量b|²=|向量a|² -2向量a*向量b+ |向量b|²=4-4+4=4
即得：|向量a+向量b|=2根号3,|向量a-向量b|=2
那么：数量积(向量a+向量b)*向量a=|向量a|²+向量a*向量b=4+2=6
(向量a-向量b)*向量a=|向量a|²-向量a*向量b=4-2=2
所以：
cosx=(向量a+向量b)*向量a/(|向量a+向量b|*|向量a|)=6/(2根号3 *2)=根号3/2
cosy=(向量a-向量b)*向量a/(|向量a-向量b|*|向量a|)=2/(2 *2)=1/2
解得角x=30°,y=60°
所以：x+y=90°