已知复数z=（m2+m-6）+（m2+m-2）i（m∈R）在复平面内所对应的点为A．（1）若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；（2）若点A在第二象限，求实数M的取值范围；（3）求|z|的最小值及此时实数m的值

Question

已知复数z=（m²+m-6）+（m²+m-2）i（m∈R）在复平面内所对应的点为A．
（1）若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；
（2）若点A在第二象限，求实数M的取值范围；
（3）求|z|的最小值及此时实数m的值．

Answer 1

（1）复数z+4m=（m²+5m-6）+（m²+m-2）i
由

m2+5m−6＝0

m2+m−2≠0

解得m=-6
（2）由

m2+m−6＜0

m2+m−2＞0

解得-3＜m＜-2，或1＜m＜2…（2分）
（3）|z|²=（m²+m-6）²+（m²+m-2）²
令m²+m-2=t
t∈[−(9)/(4)，+∞）
则|z|²=2t²-4t+16=2（t-2）²+8
所以当t=2，即m=(−1±√(17))/(2)时
有最小值2√(2)．…（1分）