某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已知AB与地面所成角的大小为60°，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得AB+BMAM达到最大值．

Question

某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已知AB与地面所成角的大小为60°，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得(AB+BM)/(AM)达到最大值．

Answer 1

∵AB与地面所成角的大小为60°，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，
∴∠ABH=60°，∠ABM≥60°，
∵(AB)/(sinM)=(BM)/(sinA)=(AM)/(sinN)，
∴(AB+BM)/(AM)=(sinM+sinA)/(sinB)=(sinM+sin(B+M))/(sinB)=(sinM+sinBcosM+cosBsinM)/(sinB)
=(1+cosB)/(sinB)•sinM+cosM=(2cos2(B)/(2))/(2sin(B)/(2)cos(B)/(2))•sinM+cosM=cot(B)/(2)sinM+cosM≤cot30°sinM+cosM
=√(3)sinM+cosM=2sin（M+30°），
当∠M=∠B=60°时，(AB+BM)/(AM)达到最大值．
即当M在BH的延长上，且BH=HM处，(AB+BM)/(AM)达到最大值．