（普通班）如图所示，从椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一

Question

（普通班）如图所示，从椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭
圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，F₁是左焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO⇒(MF1)/(BO)＝(OF1)/(AO)…（*）
设点M（-c，y₁），代入椭圆方程(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，
得(c2)/(a2)+(y12)/(b2)＝1，解之得y₁=(b2)/(a)（舍负），所以MF₁=(b2)/(a)，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得((b2)/(a))/(b)＝(c)/(a)，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴离心率e满足e²=(1)/(2)，可得e＝(2)/(2)（舍负）（8分）      
（2）分两种情况加以讨论
①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；
②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，则
在△F₁QF₂中，F1F22＝QF12+QF22−2QF1•QF2cosθ
即F1F22＝(QF1 +QF2)2−2QF1•QF2(1+cosθ)，
将F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤((QF1+QF2)/(2))2=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）⇒cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤(π)/(2)，
综上所述，θ∈[0，(π)/(2)]，即∠F₁QF₂的取值范围是[0，(π)/(2)]（14分）