用数学归纳法证明：1＋1/√2＋1/√3+1/√4+...+1/√n＜2√n(n∈N*)

Question

用数学归纳法证明：1＋1/√2＋1/√3+1/√4+...+1/√n＜2√n(n∈N*)

Answer 1

证明：（1）n=1时,1>2√1,成立.
（2）假设n=k>1时成立.
（3）1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
∵√[k(k+1)]∴2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1>2k+2-2k-1=1>0
∴{2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1]/√(k+1)>0
∴2√(k+1)-2√k-1/√(k+1)>0
∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1）
∴1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
∴n=k+1时,成立
∴得证