求证(n!)^2>=n^n,同数学归纳法,2小时内

Question

求证(n!)^2>=n^n,同数学归纳法,2小时内

Answer 1

求证(n!)²≧nⁿ,用数学归纳法.
证明：当n=1时左边=右边=1；当n=2时左边=右边=4；当n=3时,左边=36>右边=27,即不等式
成立；设当n=k时不等式(k!)²≧k^k成立,那么当n=k+1时：
左边=[(k+1)!]²=[(k!)(k+1)]²=(k!)²(k+1)²≧(k^k)(k+1)².(1)
下面需要证明一个不等式：(k^k)(k+1)≧(k+1)^k
由于(k^k)(k+1)/(k+1)^k=(k+1)[k/(k+1)]^k=(k+1)[1-1/(k+1)]^k≧(k+1)[1-k/(k+1)]=k+1-k=1
即(k^k)(k+1)≧(k+1)^k,代入(1)式即得：
[(k+1)!]²=[(k!)(k+1)]²=(k!)²(k+1)²≧(k^k)(k+1)²≧(k+1)(k+1)^k=(k+1)^(k+1)
即当n=k+1时原不等式仍然成立,故证.