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证1·n+2·(n-1)+3(n-2)+…+n·1=6/1n·(n+1)(n+2)数学归纳法怎么证呀.急....
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证1·n+2·(n-1)+3(n-2)+…+n·1=6/1n·(n+1)(n+2)数学归纳法怎么证呀.急....
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答案和解析
你的题抄错了 应是1·n+2·(n-1)+3(n-2)+…+n·1=(1/6)[n·(n+1)(n+2)]证明 （1）当n=1时 左式=1×1=1 右式=1/6×1×（1+1）×（1+2）=1 等式成立
（2）假设当n=k(k∈N)时成立即1·k+2·(k-1)+……+k·1=(1/6)k(k+1)(k+2)① 当n=k+1时
左式=1·(k+1)+2k+……+k·2+(k+1)·1② ②与①左式进行比较
1·(k+1)+2k+…… +(k-1)·3+ k·2+(k+1)·1
1·k + 2(k-1)+……+(k-1)·2+ k·1
1 2 …… k-1 k k+1 (差值)
比较后知②比①的左式多[1+2+……+k+(k+1)]=(1/2)(k+1)(k+2) 所以当n=k+1时左式
=(1/6)k(k+1)(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)==(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)也就是当n=k+1时命题成立 由数学归纳法知原命题成立
（2）假设当n=k(k∈N)时成立即1·k+2·(k-1)+……+k·1=(1/6)k(k+1)(k+2)① 当n=k+1时
左式=1·(k+1)+2k+……+k·2+(k+1)·1② ②与①左式进行比较
1·(k+1)+2k+…… +(k-1)·3+ k·2+(k+1)·1
1·k + 2(k-1)+……+(k-1)·2+ k·1
1 2 …… k-1 k k+1 (差值)
比较后知②比①的左式多[1+2+……+k+(k+1)]=(1/2)(k+1)(k+2) 所以当n=k+1时左式
=(1/6)k(k+1)(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)==(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)也就是当n=k+1时命题成立 由数学归纳法知原命题成立
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