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用数学归纳法证明((n+1)/2)^n>(n∈N*,n≥2)
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用数学归纳法证明 ((n+1)/2)^n > (n∈N*,n≥2)
▼优质解答
答案和解析
n=2 ((n+1)/2)^n= [(2+1)/2]^2=2.25 n!=2*1=2 所以((n+1)/2)^n> n!成立.
n>2 假设n=k时原式成立,即((K+1)/2)^K> K!即(k+1)^k/2^k>K!.(1)
则n=k+1时,((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K) .(2)
因(K+2)^(k+1)>2(k+1)^(k+1) .(3)
(3)代入(2) ((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K)>2(k+1)^(k+1)/(2*2^K)=(k+1)^(k+1)/2^K=(k+1)*(k+1)^k/2^K .(4)
将(1)代入(4) 得 ((K+1+1)/2)^(K+1)>(k+1)*k!=(k+1)!即n=k+1时((n+1)/2)^n > n!成立.
n>2 假设n=k时原式成立,即((K+1)/2)^K> K!即(k+1)^k/2^k>K!.(1)
则n=k+1时,((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K) .(2)
因(K+2)^(k+1)>2(k+1)^(k+1) .(3)
(3)代入(2) ((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K)>2(k+1)^(k+1)/(2*2^K)=(k+1)^(k+1)/2^K=(k+1)*(k+1)^k/2^K .(4)
将(1)代入(4) 得 ((K+1+1)/2)^(K+1)>(k+1)*k!=(k+1)!即n=k+1时((n+1)/2)^n > n!成立.
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