第一数学归纳法证明：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的问题我在一本很牛叉的中学思想方法书上看到用“第一数学归纳法”证明.第一数学归纳法：设P(n)是依赖与自然数n的命题,若P(n)当n=1时成立

Question

第一数学归纳法证明：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的问题
我在一本很牛叉的中学思想方法书上看到用“第一数学归纳法”证明.
第一数学归纳法：设P(n)是依赖与自然数n的命题,若P(n)当n=1时成立；则在P(k)成立的假定下可以证明P(k+1)成立,那么P(n)对于任意自然数n皆成立.例如：
求证：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 对于任意自然数n成立
证明：当n=1时,左边=1^2=1,右边=1,∴n=1求证式成立
设n=k时求证式成立,则n=k+1时有 1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2
=(1^2+2^2+...+k^2) + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
即n=k+1时求证式已成立,综上可知求证式对于任意自然数成立
上面的过程还有第一数学归纳法我都看懂了、就是不知道为什么能这样?为什么能
n=1时成立,设n=k成立,若n=k+1对原式成立,那么原式对任意自然数都成立?为啥?第一归纳法是怎么来的?

Answer 1

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
首先证明的不一定是n=1,一般都是第一项就行.
而且验证设n=k成立时,首先K值是集合中任意满足的.
也就是说是定义域,验证若n=k+1对原式成立,是后一项,也就是递推性的原理
加入k=3,哪后一项就是4,同理R就是R+1,也就是无限下去,全都满足,当然也就满足的所有数.
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明.数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的.（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如{1,2,3 ,4,5}这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不是对于所有的正整数都成立.
对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k.（1是不属于集合S的,所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了,所以k-1是不属于S,这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾.所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立.[1]
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式.更确切地说,两者是等价的.