完全归纳法证明相等∑j=n/2(n+1),j=1到n,这个是提前给出的,可以不用证明在接下来的完全归纳法里运用.题目是如图,需要证明左右两边相等,我证明了n=1时是相等的,但在证明接下来n+1的时候,就

Question

完全归纳法证明相等
∑ j=n/2(n+1) ,j=1到n,这个是提前给出的,可以不用证明在接下来的完全归纳法里运用.
题目是如图,需要证明左右两边相等,我证明了n=1时是相等的,但在证明接下来n+1的时候,就遇到了问题,怎么都相等不了,

Answer 1

这个题实际上是证明一个大家熟知的求和公式：1³+2³+...+n³=[n(n+1)/2]² (附带说一句,你写错了,不是n/2(n+1),而是n(n+1)/2)
这个公式如果要用数学归纳法证明,证明如下：
证：
n=1时,1³=1 [n(n+1)/2]²=[(1+1)/2]²=1,等式成立.
假设当n=k(k∈N且k≥1)时,等式成立,即
1³+2³+...+k³=[k(k+1)/2]²,则当n=k+1时,
1³+2³+...+k³+(k+1)³
=[k(k+1)/2]²+(k+1)³
=(k+1)²(k²/4+k+1)
=(k+1)²[(k²+4k+4)/4]
=(k+1)²[(k+2)²/2²]
=[(k+1)(k+2)/2]²
=[(k+1)[(k+1)+1]/2]²
等式同样成立.
综上,得等式成立.