已知数列{an}的递推公式为：an+1=11-an．（1）是否存在a1，使得数列{an}是常数列．（2）证明：数列{an}为周期数列，并求其周期；（3）若a1=2，求a2014与S2014的值．

Question

已知数列{a_n}的递推公式为：a_n+1=(1)/(1-an)．
（1）是否存在a₁，使得数列{a_n}是常数列．
（2）证明：数列{a_n}为周期数列，并求其周期；
（3）若a₁=2，求a₂₀₁₄与S₂₀₁₄的值．

Answer 1

（1） 不存在a₁，使得数列{a_n}是常数列．
理由如下：
假设存在a₁，使得数列{a_n}是常数列，
则a₁=(1)/(1-a1)，
化简得：a12-a₁+1=0，
显然该方程无解，
∴不存在a₁，使得数列{a_n}是常数列；
（2）证明：依题意，a₂=(1)/(1-a1)，
a₃=(1)/(1-a2)=(1)/(1-(1)/(1-a1))=(a1-1)/(a1)，
a₄=(1)/(1-a3)=(1)/(1-(a1-1)/(a1))=a₁，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列；
（3） 若a₁=2，由（2）可知a₂=(1)/(1-a1)=-1，a₃=(a1-1)/(a1)=(1)/(2)，
∴a₁•a₂•a₃=2•（-1）•(1)/(2)=-1，
∵2014=671×3+1，
∴a₂₀₁₄=a₁=2，S₂₀₁₄=（-1）⁶⁷¹•（-2）=2．