已知数列{an}的各项都不为零，其前n项为Sn，且满足：2Sn=an（an+1）（n∈N*）．（1）若an>0，求数列{an}的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列{an}，使得a2016=-2015？若存在，求出这样

Question

已知数列{a_n}的各项都不为零，其前n项为S_n，且满足：2S_n=a_n（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）若a_n>0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₆=-2015？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的各项都不为零且满足2Sn=an(an+1)(n∈N*)…①
∴2S₁=2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1…（2分）
∴2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1）…②，
②-①得2an+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+an+1-an，
整理得到0=（a_n+1-a_n-1）（a_n+a_n+1），∴a_n+1-a_n=1…（5分）
∴{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．…（7分）
（2）根据（1）a₁=1，0=（a_n+1-a_n-1）（a_n+a_n+1），
可得a_n+1=a_n+1或a_n+1=-a_n，…（11分）
∴从第二项开始每一项都有两个分支，
∴通项为an=

n，n≤2015

2015•(-1)n-1，n≥2016

的数列满足题意，
使得a₂₀₁₆=-2015（其他符合的答案类似给分）．…（15分）